probability - Expected value of game involving 100-sided die - Mathematics Stack Exchange
给定已知概率分布\(D\)，记第一次采样结果为\(a_1\)。你可以：
然后你可以接受\(a_2\)，获取等量的收益，或者再次花费\(k\)的代价重新采样。重新采样次数无限制。
请给出一个最优策略，最大化获得的收益，并计算该策略下收益的数学期望。
特例：\(D\)为整数集\(\{1, \dots, 100\}\)上的均匀分布，\(D=U(1,100)\)等。
https://ximera.osu.edu/mooculus/calculus3/greensTheorem/digInDivergenceAndGreensTheorem
记向量函数\(\mathbf F\)。
\[ \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right) \, \mathrm d V= \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\, \mathrm dS.} \]
抛掷一枚均匀硬币若干次，记0为反面，1为正面，求直到抛掷结果序列\(s\)首次出现，所需抛掷次数的数学期望。
具体的\(s\)可以是001、1111或1101001等。
推广（猴子打字问题）：给定一个字符生成器，每次以概率\(p_i\)生成字符\(i\)，且\(\sum_i p_i = 1\)。求直到生成序列\(s\)首次出现，所需生成次数的数学期望。
http://www.matrix67.com/blog/archives/3507
https://www.zhihu.com/question/64089362
记\(U_1,U_2,\dots\)为一列独立随机变量，均服从\((0,1]\)上的均匀分布。记
\[ \xi = \min\{n \geq 1: U_1+U_2+\dots+U_n > 1\}, \]
求\(E(\xi)\)。
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