Mercury's Blog

有\(n\)人前来参加面试，共有\(m\)场可供选择的面试。

• 第\(i\)个人从这些面试时间中，选出可参与的面试场次集合\(S_i\)。
• 第\(j\)场面试最多可容纳\(a_j\)人。

问是否存在方案，使得每个人都能参与面试。

给定\(n\)个球和\(n\)个盒子，每个球会被串行地随机分配到一个盒子中。

1. 求空盒的期望数目。
2. 求每个盒子装有的球的期望数目。
3. 若每个盒子都会在它已经装有\(1\)个球时，拒绝装下其他的球，然后被拒绝的球消失。求消失的球的期望数目。

probability - Expected value of game involving 100-sided die - Mathematics Stack Exchange

题干

给定已知概率分布\(D\)，记第一次采样结果为\(a_1\)。你可以：

• 接受该采样，获得收益\(a_1\)；
• 拒绝该采样，花费\(k\)（\(k>0\)）的代价重新采样，记第二次采样结果为\(a_2\)；

然后你可以接受\(a_2\)，获取等量的收益，或者再次花费\(k\)的代价重新采样。重新采样次数无限制。

请给出一个最优策略，最大化获得的收益，并计算该策略下收益的数学期望。

特例：\(D\)为整数集\(\{1, \dots, 100\}\)上的均匀分布，\(D=U(1,100)\)等。

https://ximera.osu.edu/mooculus/calculus3/greensTheorem/digInDivergenceAndGreensTheorem

记向量函数\(\mathbf F\)。

高斯公式

\[ \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right) \, \mathrm d V= \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\, \mathrm dS.} \]

一道抛硬币问题的不同解法和比较 | 统计之都 (cosx.org)

题干

抛掷一枚均匀硬币若干次，记0为反面，1为正面，求直到抛掷结果序列\(s\)首次出现，所需抛掷次数的数学期望。

具体的\(s\)可以是001、1111或1101001等。

推广（猴子打字问题）：给定一个字符生成器，每次以概率\(p_i\)生成字符\(i\)，且\(\sum_i p_i = 1\)。求直到生成序列\(s\)首次出现，所需生成次数的数学期望。

http://www.matrix67.com/blog/archives/3507

https://www.zhihu.com/question/64089362

记\(U_1,U_2,\dots\)为一列独立随机变量，均服从\((0,1]\)上的均匀分布。记

\[ \xi = \min\{n \geq 1: U_1+U_2+\dots+U_n > 1\}, \]

求\(E(\xi)\)。