分部和分——阿贝尔变换
在离散领域也有“分部积分”（Integration by parts）公式，不妨称之为“分部和分”（Summation by parts）。这一公式又被称为“阿贝尔变换”，得名于其作为推导无穷级数的敛散性判定准则的一个重要引理。
调和级数概率专题
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收集一些答案与调和级数的部分和有关的概率问题。
最小圆覆盖问题
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给定一个\(n\)顶点的二维多边形，以每个顶点为圆心作一个半径为\(r\)的圆，记第\(i\)个顶点对应的圆覆盖的区域为\(R_i\)。求使得\(\bigcup_{i=1}^n R_i\)覆盖整个多边形内部区域的最小半径\(r^*\)。
盒子里的彩色球
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盒子里有\(n\)种颜色的球，第\(i\)种颜色的球初始时有\(a_i\)个。玩家每轮进行如下操作：
- 从盒子中依次取出两个球，记为\(\text f, \text s\)。
- 若\(\text f\)和\(\text s\)颜色不同，则将\(\text f\)的颜色重刷成\(\text s\)的颜色。
- 将两个球放回盒子。
求直到所有的球具有相同的颜色为止，经过轮数的数学期望。
兰彻斯特作战模型
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考虑两军交战：
- \(x(t)\)，\(y(t)\)分别表示\(t\)时刻，甲方和乙方的兵力；
- \(a\)，\(b\)分别表示乙、甲两方的单兵（作战单位）平均毁伤率。
面试排班问题
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有\(n\)人前来参加面试，共有\(m\)场可供选择的面试。
- 第\(i\)个人从这些面试时间中，选出可参与的面试场次集合\(S_i\)。
- 第\(j\)场面试最多可容纳\(a_j\)人。
问是否存在方案，使得每个人都能参与面试。
占坑问题
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给定\(n\)个球和\(n\)个盒子，每个球会被串行地随机分配到一个盒子中。
- 求空盒的期望数目。
- 求每个盒子装有的球的期望数目。
- 若每个盒子都会在它已经装有\(1\)个球时，拒绝装下其他的球，然后被拒绝的球消失。求消失的球的期望数目。
无限重掷骰子的收益期望
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probability - Expected value of game involving 100-sided die - Mathematics Stack Exchange
题干
给定已知概率分布\(D\)，记第一次采样结果为\(a_1\)。你可以：
- 接受该采样，获得收益\(a_1\)；
- 拒绝该采样，花费\(k\)（\(k>0\)）的代价重新采样，记第二次采样结果为\(a_2\)；
然后你可以接受\(a_2\)，获取等量的收益，或者再次花费\(k\)的代价重新采样。重新采样次数无限制。
请给出一个最优策略，最大化获得的收益，并计算该策略下收益的数学期望。
特例：\(D\)为整数集\(\{1, \dots, 100\}\)上的均匀分布，\(D=U(1,100)\)等。
格林公式与高斯公式
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https://ximera.osu.edu/mooculus/calculus3/greensTheorem/digInDivergenceAndGreensTheorem
记向量函数\(\mathbf F\)。
高斯公式
\[ \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right) \, \mathrm d V= \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\, \mathrm dS.} \]
随机序列的首次生成问题
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题干
抛掷一枚均匀硬币若干次，记0为反面，1为正面，求直到抛掷结果序列\(s\)首次出现，所需抛掷次数的数学期望。
具体的\(s\)可以是001、1111或1101001等。
推广（猴子打字问题）：给定一个字符生成器，每次以概率\(p_i\)生成字符\(i\)，且\(\sum_i p_i = 1\)。求直到生成序列\(s\)首次出现，所需生成次数的数学期望。