Lumière's Blog

https://stason.org/TULARC/self-growth/puzzles/181-geometry-duck-and-fox-p.html https://www.maplesoft.com/support/help/view.aspx?path=MathApps/TheDuckAndFoxPuzzle

鸭子在半径为 \(r=1\) 的圆形湖的中心，可以在湖上自由移动。狐狸在湖岸，只能沿湖岸奔跑。鸭子、狐狸的最大速率分别为 \(v=1\) 和 \(kv \ (k > 1)\)。鸭子到达岸边后就能立即飞走，在水中不能起飞。狐狸的目标是在鸭子到达岸边时抓到之，鸭子的目标是在到达岸边时避免被抓到。记某时刻鸭子与圆心的距离为 \(\rho\)，且鸭子所在半径与狐狸所在半径之间的较小夹角为 \(\theta\)。

1. 求证：鸭子有策略到达状态 \((\rho, \theta) = (\frac{1}{k}, \pi)\)。
2. 求证：鸭子有策略在到达岸边时避免被抓到，当且仅当 \(\sqrt{k^2 - 1} - \arccos (\frac{1}{k}) < \pi\)。
3. 若 \(k\) 满足狐狸恰好能够抓到鸭子，求直到抓到鸭子累积经过的时间。

一名刺客攻击一名牧师，刺客有 \(n\) 种武器，每种武器都可以随时使用，但只能被使用一次。刺客在使用第 \(i\) 种武器后，立即对目标施加持续时间为 \(t_i\) 的流血效果：随后在 \(t_i\) 时间内，目标每单位时间匀速受到 \(d_i\) 点伤害。不同武器施加的效果可同时存在并生效。牧师可以释放净化技能，释放后清空自身所有流血效果，冷却时间为 \(c\)，即两次释放之间的时间间隔至少为 \(c\)，且初始时可以立即释放净化技能，可以在观察到攻击后于同一时刻立即净化。

以上信息双方均已知。刺客的目标是最大化目标受到的伤害，牧师的目标是最小化自身受到的伤害。记 \(p_i = d_i t_i, q_i = d_i \min (t_i, c)\)。

• 求双方的最优策略，以及最优策略下，刺客造成的伤害。

进化论-破冰游戏

\(n\) 个人玩一个团建游戏，游戏开始时，所有玩家等级均为 \(0\)，每个玩家的最高等级为 \(m\)，最低等级为 \(0\)，且 \(n \geq m\)。每回合依次进行如下步骤：

1. 将所有玩家根据其等级分为 \(m + 1\) 个集合 \(S_0, \dots, S_m\)。
2. 对每个集合 \(S_j\)，若 \(j \neq m\)，其中所有玩家随机两两进行剪刀石头布，胜利者等级 +1，失败者等级 -1，平局无变化。如果某集合人数为奇数，则随机有一人轮空。

当无法再进行剪刀石头布对局时，游戏结束。

1. 对某个玩家，求其最终能够升到最高等级的概率。
2. 求直到游戏结束，共进行的剪刀石头布对局次数的数学期望。
3. 若 \(n \gg m\)，某个玩家能升到最高等级，求其到达最高等级所经历的剪刀石头布对局次数的数学期望。

有 \(n\) 名玩家参与一个猜测排名游戏。首先，玩家 \(i\) 获得一个独立同分布于 \(U(0, 1)\) 的随机数 \(X_i\)，该随机数不公开。随后进行若干轮：

• 玩家 \(i\) 依次猜测自己得到的随机数 \(X_i\) 的大小在所有玩家中的排名，并公开（每轮猜测的排名可以不同）。

若存在至少两个玩家猜测的排名相同，则进入下一轮，否则结束所有轮次。最后，公开所有 \(X_i\)，在最后轮次中所有猜测排名正确的玩家获得奖励。

在合作博弈假设下，每个玩家都希望所有玩家能够获得奖励。所有玩家在游戏开始前可以商议一个策略。在必胜的前提下，试提出一个策略，最大化每轮立即结束的概率。

现有一储水式电热水器，初始水量和最大容积为 \(V\)，加热功率可调。流入热水器的水温为 \(T_c\)，热水器的水经过花洒流出的体积流量恒定为 \(u\)，且流入流量将维持内部水量始终不变。记水的密度为 \(\rho\)，比热容为 \(c\)。忽略热水器向环境散热，并认为内部水始终充分混合。

1. 当热水器内部水温为 \(T\)，且使用花洒放水时，求恰好能维持内部水温不变的恒定功率 \(P_T\)。
2. 设初始水温 \(T_0 > T_c\)，此时使用花洒放水，并设置加热功率恒定为 \(P\)。若 \(P < P_{T_0}\)，求热水器内水温随时间的变化关系 \(T(t)\)。
3. 现有一用户使用该热水器洗澡，洗澡时要求热水器内的水温至少为 \(T_d\)，其中 \(T_d > T_c\)，已知洗澡时长为 \(t\)，洗澡时恒定加热功率 \(P < P_{T_d}\)。
   1. 若热水器内的水直接经过花洒流出，求初始水温的最小值 \(T_{0, \text{min}}^{\text{direct}}\)。
   2. 若热水器内的水流出时会与温度为 \(T_c\) 的水通过一个智能混水阀混合，再经过花洒流出，温度尽量保持为 \(T_d\)，求初始水温的最小值 \(T_{0, \text{min}}^{\text{mix}}\)，并证明 \(T_{0, \text{min}}^{\text{mix}} < T_{0, \text{min}}^{\text{direct}}\)。

本文使用 AI 辅助写作。

打工人到了新城市租房时，第一次看房总免不了紧张。你还在盘算通勤时间、检查热水器好不好用，房东或中介已经在一旁频频施压，话里话外就一个意思：今天不签，明天就没了。常见的话术有这些——

• “这套房刚挂出来，上午已经有两拨人来看过了，您要是犹豫，晚上可能就被别人定了。”
• “我手头还有三个客户在等回话，谁先交定金就算谁的，真没法替您留。”
• “上个月这小区一套空房都没剩，现在这套空了还不到三天，错过真的要等很久。”

这些说辞万变不离其宗：制造稀缺感和紧迫感，让租客在信息不对称和焦虑中仓促做决定。可这些话经得起推敲吗？房源的流转速度到底有多快？下面就用一套简单的数学模型，把这件事量化清楚。

1843 年的日本，一位青年在故乡的岩壁题上了一首七言绝句，从此开始为国事奔走。此时的他从未想过，这首诗将会串联起东亚民族近代反抗压迫、追求独立与解放的艰难历程。

男児志を立てて　郷関を出ず

学若し成る無くんば　死すとも還らず

骨を埋む豈惟　墳墓の地のみならんや

人間到る処に　青山有り

男儿立志出乡关，学若无成死不还。埋骨岂惟坟墓地，人间到处有青山。

现有 \(n\) 个求职者，\(m\) 个公司，每个公司均招聘 \(t\) 人。每个公司可以均匀随机地给任意个求职者发放 offer，每个求职者会在其收到的所有公司的 offer 中均匀随机选择一个加入。设 \(n \geq mt\)。

求每个公司应该发放的 offer 数 \(o_i\)，使得该公司能招聘到的期望人数恰好为 \(t\)。

https://en.wikipedia.org/wiki/Jeep_problem

https://zhuanlan.zhihu.com/p/7236950040

某吉普位于原点，在原点处有 \(n\) 单位燃油。吉普的油箱中最多可存储 \(m\) 单位燃油。吉普可以随时随地将任意单位燃油卸载于当地，或从当地载入油箱。吉普每单位时间可移动一单位长度，且移动时每单位时间必须消耗油箱中的一单位燃油。

1. 求吉普能够移动的最大位移。
2. 现吉普需要将燃油尽可能多地搬运到位移 \(l\) 处，求此处的燃油数的最大值。
3. 若 \(n = +\infty\)，现吉普需要到达位移 \(l\) 处，求总过程的最小油耗。
4. 现吉普可以随时随地出售其油箱中存储的任意单位的燃油，在位移 \(l\) 处的出售价格固定为每单位燃油 \(l\) 单位收益。吉普需要规划出售策略，并使其最终能够返回原点，求总过程可获得的收益的最大值。

黑神话也在用的新一代游戏动画技术：MotionMatching讲解实践一条龙_哔哩哔哩_bilibili

基于UE官方MotionMatching还原《黑神话悟空》Locomotion - 哔哩哔哩

前一阵子看到游科在 2021 年分享过他们在黑神话项目中在 UE 里使用 Motion Matching 做角色动画，就很好奇正式发布的游戏里是怎么实现的。

然而，经过一系列逆向分析，我发现了一个事实：黑神话项目中的 Motion Matching 并不典型，主角的角色动画就很可能完全没用到 Motion Matching，仍是传统的动画状态机技术，倒是部分敌人的 locomotion 动画应该是用了 Motion Matching。

先说结论：经过资产分析、代码静态分析和动态分析，并结合游戏实机表现，《黑神话：悟空》的

• 主角（天命人、孙悟空）的所有角色动画都基于动画状态机。
• 部分敌人在行走、跑步动画中使用了 Motion Matching，其余如攻击、跳跃、技能等则使用了动画状态机。部分敌人则完全使用了动画状态机。