电热水器的数学物理建模
现有一储水式电热水器，初始水量和最大容积为 \(V\)，加热功率可调。流入热水器的水温为 \(T_c\)，热水器的水经过花洒流出的体积流量恒定为 \(u\)，且流入流量将维持内部水量始终不变。记水的密度为 \(\rho\)，比热容为 \(c\)。忽略热水器向环境散热，并认为内部水始终充分混合。
- 当热水器内部水温为 \(T\)，且使用花洒放水时，求恰好能维持内部水温不变的恒定功率 \(P_T\)。
- 设初始水温 \(T_0 > T_c\)，此时使用花洒放水，并设置加热功率恒定为 \(P\)。若 \(P < P_{T_0}\)，求热水器内水温随时间的变化关系 \(T(t)\)。
- 现有一用户使用该热水器洗澡，洗澡时要求热水器内的水温至少为 \(T_d\)，其中 \(T_d
> T_c\)，已知洗澡时长为 \(t\)，洗澡时恒定加热功率 \(P < P_{T_d}\)。
- 若热水器内的水直接经过花洒流出，求初始水温的最小值 \(T_{0, \text{min}}^{\text{direct}}\)。
- 若热水器内的水流出时会与温度为 \(T_c\) 的水通过一个智能混水阀混合，再经过花洒流出，温度尽量保持为 \(T_d\)，求初始水温的最小值 \(T_{0, \text{min}}^{\text{mix}}\)，并证明 \(T_{0, \text{min}}^{\text{mix}} < T_{0, \text{min}}^{\text{direct}}\)。