电热水器的数学物理建模

现有一储水式电热水器，初始水量和最大容积为 \(V\)，加热功率可调。流入热水器的水温为 \(T_c\)，热水器的水经过花洒流出的体积流量恒定为 \(u\)，且流入流量将维持内部水量始终不变。记水的密度为 \(\rho\)，比热容为 \(c\)。忽略热水器向环境散热，并认为内部水始终充分混合。

1. 当热水器内部水温为 \(T\)，且使用花洒放水时，求恰好能维持内部水温不变的恒定功率 \(P_T\)。
2. 设初始水温 \(T_0 > T_c\)，此时使用花洒放水，并设置加热功率恒定为 \(P\)。若 \(P < P_{T_0}\)，求热水器内水温随时间的变化关系 \(T(t)\)。
3. 现有一用户使用该热水器洗澡，洗澡时要求热水器内的水温至少为 \(T_d\)，其中 \(T_d > T_c\)，已知洗澡时长为 \(t\)，洗澡时恒定加热功率 \(P < P_{T_d}\)。
   1. 若热水器内的水直接经过花洒流出，求初始水温的最小值 \(T_{0, \text{min}}^{\text{direct}}\)。
   2. 若热水器内的水流出时会与温度为 \(T_c\) 的水通过一个智能混水阀混合，再经过花洒流出，温度尽量保持为 \(T_d\)，求初始水温的最小值 \(T_{0, \text{min}}^{\text{mix}}\)，并证明 \(T_{0, \text{min}}^{\text{mix}} < T_{0, \text{min}}^{\text{direct}}\)。

解答

设热水器内部水温均匀，其总热容量为 \(C=\rho cV\)。

1

由能量守恒，单位时间内流出的水带走的净热量等于维持内部水温不变所需的恒定功率，为

\[ P_T=\rho cu(T-T_c). \]

2

对热水器内的水作能量平衡：

\[ \rho cV\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} =P+\rho cuT_c-\rho cuT =P-\rho cu(T-T_c). \]

定义平衡温度

\[ T_\infty=T_c+\frac{P}{\rho cu}. \]

则微分方程可写为

\[ \frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} =-\frac{u}{V}(T-T_\infty). \]

结合初始条件 \(T(0)=T_0\)，得到

\[ T(t)=T_\infty+(T_0-T_\infty)e^{-ut/V} \]

即

\[ T(t)=T_c+\frac{P}{\rho cu} +\left(T_0-T_c-\frac{P}{\rho cu}\right)e^{-ut/V} . \]

由于 \(P<P_{T_0}=\rho cu(T_0-T_c)\)，所以 \(T_\infty<T_0\)，水温随时间单调下降并渐近于 \(T_\infty\)。

3

记

\[ P_{T_d}=\rho cu(T_d-T_c), \]

且 \(P<P_{T_d}\)，故定义 \(B=T_d-T_c-\frac{P}{\rho cu}>0\)。

(i)

为了使整个洗澡过程中均有 \(T(t)\geq T_d\)，由于水温单调下降，最小初始温度对应于洗澡结束时恰好满足 \(T(t)=T_d\)。代入第 2 问结果得

\[ T_d=T_\infty+(T_{0,\min}^{\mathrm{direct}}-T_\infty)e^{-ut/V}. \]

解得

\[ T_{0,\min}^{\mathrm{direct}} = T_d+ \left( T_d-T_c-\frac{P}{\rho cu} \right) \left(e^{ut/V}-1\right) . \]

(ii)

设某时刻热水器内部温度为 \(T\geq T_d\)，从热水器流出的热水流量为 \(q\)，混入的冷水流量为 \(u-q\)。混合后水温保持为 \(T_d\)，故

\[ qT+(u-q)T_c=uT_d. \]

因此

\[ q=\frac{u(T_d-T_c)}{T-T_c}. \]

此时热水器内部只需补入流量为 \(q\) 的冷水。能量平衡为

\[ \rho cV\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} =P-\rho cq(T-T_c). \]

代入混水关系 \(q(T-T_c)=u(T_d-T_c)\) 得到

\[ \rho cV\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} =P-\rho cu(T_d-T_c) =P-P_{T_d}. \]

因此水温以恒定速率线性下降，满足

\[ T(\tau) = T_0-\frac{P_{T_d}-P}{\rho cV}\tau, \]

其中 \(\tau\) 为从开始洗澡起计的时间。

最小初始温度对应于洗澡结束时恰好有 \(T(t)=T_d\)，再代入 \(P_{T_d}=\rho cu(T_d-T_c)\)，得

\[ T_{0,\min}^{\mathrm{mix}} = T_d+ \left( T_d-T_c-\frac{P}{\rho cu} \right)\frac{ut}{V} . \]

下面证明不等式。令

\[ x=\frac{ut}{V}>0, \qquad B=T_d-T_c-\frac{P}{\rho cu}>0. \]

则

\[ \begin{cases} T_{0,\min}^{\mathrm{direct}}=T_d+B(e^x-1), \\ T_{0,\min}^{\mathrm{mix}}=T_d+Bx. \end{cases} \]

对于 \(x>0\)，严格有

\[ e^x>1+x, \]

又因为 \(B>0\)，所以

\[ T_{0,\min}^{\mathrm{mix}} < T_{0,\min}^{\mathrm{direct}} \]

得证。