甲、乙两人玩一个反复横跳游戏。首先决定先手、后手，以及固定值 \(a, b, S_1\)。随后的每一轮，第 \(i\) 轮依次进行如下操作：

• 获取 \(X_i \sim U(0, 1)\)，计算 \(S_{2i} = S_{2i-1} + X_i\)。若 \(S_{2i} \geq a\)，则先手获胜，游戏结束。
• 获取 \(Y_i \sim U(0,1)\)，计算 \(S_{2i + 1} = S_{2i} - Y_i\)。若 \(S_{2i+1} \leq b\)，则后手获胜，游戏结束。

所有的 \(X_i, Y_i\) 都是独立同分布的。

1. 若 \(S_1 = 0, a = 1/2, b = -1/2\)，求先手获胜的概率。
2. 若 \(a = 1/2, b = -1/2\)，求 \(S_1\) 的值，使得先手和后手获胜的概率一致。
3. （很困难）试着继续推广结论至更一般的 \(a, b, S_1\)。

现有 \(n\) 人参与投票游戏：设每人均匀随机地选择剩余 \(n-1\) 人的其中一人，将其序号投入投票箱，最后从投票箱中统计每人获得的票数。设没有获得任何票的人的数目为 \(X\)，获得了至少两票的人的数目为 \(Y\)。求：

• \(P(X=0)\)
• \(P(X=1)\)
• \(P(X=k)\)
• \(E(X)\)
• \(E(Y)\)

为汉字中的“多音字”分类

一个汉字在不同场景下可能发不同音，占用不同的汉语拼音音位，它们就是所谓的“多音字”。本文将总结能够被收录入字典的多音字产生的原因。

某公司年会举办抽奖活动，共有 \(n\) 名员工参加，共有 \(m\) 件奖品。员工当中，有 \(k\) 人获得了额外的中奖权重：

• 抽奖前，拥有额外中奖权重的员工，会将自己的一个“分身”加入抽奖参与名单内。
• 对每件奖品抽奖时，抽奖程序从未中奖的参与名单中均匀随机选取一位，选取到自身或自身的“分身”均算作同一员工中奖。如果拥有额外的中奖权重的员工中奖，那么参与名单中会同时移除其本身和其“分身”。

求拥有额外的中奖权重的员工的中奖概率。

本文是博主在实习公司制作的课程讲义，内容是基于物理的动画：布料与软体动力学。

原课程对应的幻灯片可以点击这里下载。

本文是博主撰写的学校课程论文（有删改），主题是几何处理领域的常用数据结构 Voronoi 图。

本文是博主在实习公司制作的课程讲义，内容是基于物理的动画：刚体动力学。

原课程对应的幻灯片可以点击这里下载。

设概率分布 \(D\) 连续。游戏开始时，首先生成 \(X_1 \sim D\)，在第 \(i \ (i \geq 2)\) 轮中生成独立的 \(X_i \sim D\)，然后：

• 若 \(i\) 为偶数，且 \(X_i < X_{i-1}\)，则游戏结束于第 \(i\) 轮；否则，继续第 \(i+1\) 轮。
• 若 \(i\) 为奇数，且 \(X_i > X_{i-1}\)，则游戏结束于第 \(i\) 轮；否则，继续第 \(i+1\) 轮。

求该游戏进行的轮数的数学期望。

相关问题：随机序列的首次生成问题 | Mercury's Blog (zrephel.fun)

简单形态（\(p=1/2\) 的推广形态）：抛掷一枚均匀硬币若干次，记 0 为反面，1 为正面。求在 \(n\) 次抛掷后，至少出现了一次连续 \(m\) 个 1 的概率。

推广形态：给定一个字符生成器，每次以概率 \(p\) 生成字符 \(i\)。当生成次数为 \(n\) 时，求至少产生了一次连续 \(m\) 个字符 \(i\) 的概率。

本文是我的本科毕业设计（2023年提交）

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