路径追踪与重要性采样
本文是作者对路径追踪中的重要性采样原理和实践的笔记。
重要性采样
设积分
\[ L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o) =\int_{\Omega} L_i(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_i) f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_i) (\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n)_{+} \, \mathrm d \boldsymbol \omega_i. \]
我们有蒙特卡洛方法计算和分（离散蒙特卡洛积分）的一般公式
\[ \int_I f(x) \, \mathrm dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{f(X_i)}{p(X_i)}, \]
其中 \(X_i \sim p(x)\)。
那么，我们令
\[ f = L_i(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_i) f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_i) (\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n)_{+} \]
然后找到一个 PDF \(p(x)\)，即可对给定的反射点 \(\boldsymbol x\) 和出射光线 \(\boldsymbol \omega_o\)，在变量 \(\boldsymbol \omega_i\) 上进行蒙特卡洛积分
\[ L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{L_i(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_i) f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_i) (\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n)_{+}}{p(\boldsymbol \omega_i)}. \]
在 MCPT 中，一般 \(N = 1\)，即在一个像素采样过程中，对当前表面仅发射一个光线。通过在同一像素点发射多根光线的方式进行平均，可以达到 \(N\) 较大时类似的效果，且也能解决锯齿问题。对分布式光线追踪，\(N\) 可能不为 1。
均匀半球采样
由于半球的面积为 \(2 \pi\)，而采样相当于在这个面积中均匀取一个点，故均匀采样的 PDF 为
\[ p(\boldsymbol \omega_i) = \frac{1}{2 \pi}. \]
光源的重要性采样
我们可以直接采样光源，以避免无头苍蝇般地均匀采样，获取显著的效率提升。
设当前反射点为 \(\boldsymbol x\)，面光源的采样点为 \(\boldsymbol x'\)，根据单位立体角的定义，有
\[ \mathrm d \boldsymbol \omega = \frac{\mathrm dA}{||\boldsymbol x - \boldsymbol x'||^2} \]
其中 \(\mathrm d A\) 为单位立体面的面积。若面光源为矩形面光源，则我们还需要将其投影到矩形面上。记光源的法向为 \(\boldsymbol n'\)，则
\[ \mathrm d A = \mathrm d S \cdot (\boldsymbol n' \cdot - \boldsymbol \omega_i)_+ \]
其中 \(\mathrm d S\) 为单位矩形面的面积。整合得到
\[ L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o) = \int_{\Omega} L_i(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_i) f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_i) \frac{(\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n)_{+} \cdot (-\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n')_{+}}{||\boldsymbol x - \boldsymbol x'||^2} \, \mathrm d A \]
那么，我们在用蒙特卡洛积分时，就可以在均匀面光源上采样，即 PDF 为
\[ p(\boldsymbol \omega_i) = \frac{1}{A}, \]
其中 \(A\) 为该面光源的面积。
或等价地，使用原式
\[ L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{L_i(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_i) f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_i) (\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n)_{+}}{p(\boldsymbol \omega_i)}, \]
令 PDF 为
\[ p(\boldsymbol \omega_i) = \frac{||\boldsymbol x - \boldsymbol x'||^2}{(-\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n')_{+}} \cdot \frac{1}{A} \]
亦可。
如果有多个面光源，简单的方法是均匀随机地取一个面光源采样即可。也可以进一步地，在光源这方面做分层采样（stratified sampling）。
最后，我们可以累加光源采样部分的 \(L_o\) 和间接光照采样部分的 \(L_o\)，获得最终的 \(L_o\)。
光源的分层采样
设场景中有若干个面光源，它们的功率、位置与面积不同。简单地每次均匀随机地取一个面光源采样显然是有偏的，会引入较大的方差。
因此，我们可以考虑根据光源功率与面积的乘积加权进行采样，这样高贡献的光源就更容易被选中。在实践上，这也更接近无偏的结果。
均匀采样面光源
选中了面光源之后，我们还需要从该面光源中随机选择一点，作为光线来源的采样点。通常的算法都需要在该面光源中获取均匀随机一点，以避免引入偏差。
因此，需要注意实现对三角形、圆面和球面等的均匀随机采样算法。一些很朴素的采样算法得到的结果并不是均匀的，需要仔细设计。
BRDF 的重要性采样
对 BRDF 的重要性采样的一般思路是，让 PDF \(p(\boldsymbol \omega_i)\) 正比于 \(f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_i) (\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n)_{+}\)。
在理想情况下，让 PDF 直接解析地正比于 \(f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_i) (\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n)_{+}\)，可以取得完全正确的结果，即蒙特卡洛积分与求和之间取等号。但一般情况下，无法做到完全正比，只能做到大致走向一致。
例如，在 PBR 模型中，包含 diffuse 和 specular 两项，两者可以分别采样。
- 对于 diffuse，只需让 PDF 正比于 \((\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n)_{+}\) 即可，这不难。
- 对于 specular，其中有 DFG 三项，只能让 PDF 正比于法线分布函数（NDF）\(D\)。
推导出相应的 PDF \(p_d, p_s\) 后，需要将它们用系数整合成完整的 PDF
\[ p = k_d p_d + k_sp_s, \]
其中 \(k_d + k_s = 1\)。具体使用哪个 PDF 采样，可以使用运行时随机数 \(u \sim U(0,1)\) 决定。
当使用一些会计算 metallic \(m\) 和 \(F_0\) 的 PBR 模型时，可以重新考虑 BRDF 的采样系数，即 \(k_s\) 可能与 \(F_0, m\) 等系数均有关。
在重要性采样中，采样 GGX 等 NDF 的计算量很大。只有 Blinn-Phong 的 NDF（经过了某种归一化）
\[ D(\boldsymbol \omega_h) = \frac{\alpha + 2}{2 \pi} (\boldsymbol \omega_h \cdot \boldsymbol n)_{+}^{\alpha} \]
在采样上有比较解析的方法，因此计算量最小，也是作者的 Path Tracer 实现的唯一材质类型。
结合光源采样和 BRDF 采样——多重重要性采样（MIS）
可能出现这种情况：
- 在某些光滑金属区域，采样光源位置函数的结果很难贡献到近似冲激函数的 BRDF 上，因此产生噪点状的结果。
- 在某些粗糙区域，采样正比于 BRDF 函数的结果很难命中极小的光源，因此产生噪点状的结果。
因此，可以用某个权重函数把两种重要性采样的 PDF 结合起来，形成新的 PDF
\[ \begin{aligned} L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o) & \approx \frac{L_i(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_i) f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_i) (\boldsymbol \omega_i \cdot \boldsymbol n)_{+}}{p(\boldsymbol \omega_i)} \\ &= w_1(\boldsymbol \omega_1) \frac{L_i(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_1) f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_1) (\boldsymbol \omega_1 \cdot \boldsymbol n)_{+}}{p_1(\boldsymbol \omega_1)} + w_2(\boldsymbol \omega_2) \frac{L_i(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_2) f_r(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o, \boldsymbol \omega_2) (\boldsymbol \omega_2 \cdot \boldsymbol n)_{+}}{p_2(\boldsymbol \omega_2)} \end{aligned} \]
常用的权重函数为 power-heuristic：
\[ w_s(\boldsymbol \omega_i) = \frac{p_s^{\beta}(\boldsymbol \omega_i)}{\sum_{j=1}^2 p_j^{\beta}(\boldsymbol \omega_i)}. \]
其中 \(\beta\) 为自定义参数，一般 \(\beta = 2\) 效果较好。这样的结果是有偏的，但可以取得较低的方差，快速降噪。
如果希望取得无偏的结果，可以设 \(\beta=1\)，但方差较大。
科学地中断递归
在 path tracing 的过程中，单纯地限定最大递归深度会使图像整体损失能量（亮度偏低）。因此，建议使用俄罗斯轮盘赌的方法，取得期望正确的能量结果。
方法1
俄罗斯轮盘赌。即事先规定一个概率 \(p\)，它将成为在当前表面，是否要采样 \(\boldsymbol \omega_i\) 计算 \(L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o)\) 的凭据。
即，每次计算 \(L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o)\) 前，生成 \(u \sim U(0,1)\)：
- 若 \(u < p\)，则跟随光线 \(\boldsymbol \omega_i\)，计算本次 \(L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o)\)，且可能还要继续跟随光线 \(\boldsymbol \omega_i\) 的表面，计算 \(L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_i)\)。但最终函数返回，赋值时使用 \(L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o)= L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o) / p\)。
- 若 \(u \geq p\)，则终止递归，并令 \(L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o) = 0\)。
综合考虑，每个 \(L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o)\) 的计算期望为
\[ p \cdot L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o) / p + (1-p) \cdot 0 = L_o(\boldsymbol x, \boldsymbol \omega_o). \]
因此不会损失能量。
缺点：\(p\) 较大时，期望递归数较多，且不可控制。
方法2
使用 throughput，考虑衰减的同时，让递归终止条件更科学。
monte carlo - Is Russian Roulette really the answer? - Computer Graphics Stack Exchange