有向距离场的构建与应用

Posted on 2025-04-18 Waline:

本文是博主在实习公司制作的课程讲义，内容是有向距离场（SDF）的构建与应用。

原课程对应的幻灯片可以点击这里下载。

SDF 技术概述

SDF：定义

有向距离场（Signed Distance Field, SDF）\(\varphi(\mathbf{x}):\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}\) 针对空间中的位置 \(\mathbf{x}\) 输出其到某个物体表面的最短距离。若该位置在物体内部，则输出距离为负，否则距离为正。

\(\varphi(\mathbf{x})\) 的梯度 \(\nabla\varphi(\mathbf{x})\) 的方向给出了最快朝外远离物体表面的方向，可用在模型表面近似法线方向。

解析的 SDF

解析的 SDF 是一种隐式表达，许多基础几何形体都可以用解析的 SDF 表达。比如球体、立方体、圆柱体、三角形等¹。

中心为 \(\mathbf{c}\)，半径为 \(r\) 的球体：\(\varphi(\mathbf{x}) = |\mathbf{x} - \mathbf{c}| - r\)
中心为 \(\mathbf{c}\)，长宽高为 \(\mathbf{b}\) 的立方体：\(\varphi(\mathbf{x}) = \|\max(|\mathbf{x}| - \mathbf{b},\mathbf{0})\| + \min(\max(|x_{1}| - b_{1},|x_{2}| - b_{2},|x_{3}| - b_{3}),0)\)
......

进一步地，可以方便地对 SDF 基础几何形体做布尔运算，如并集、交集、差集，得到更复杂的几何形体，这就是基于 SDF 的建模，是一种程序化建模方法。它是许多 Shadertoy 魔法的基本原理。

SDF 三维纹理

然而，传统建模流程得到的三角网格体无法用解析的 SDF 表达，因此游戏引擎需要维护一个离散的三维纹理存储其 SDF，这是一种显式表达。该三维纹理的每个 texel，称之为采样点，即存储此位置的 SDF。

SDF 的生成算法

距离场的生成

导入三角网格模型并确定其包围盒后，即可进行距离场（DF）的生成。

设三维轴 \((x,y,z)\) 上每个轴的采样点数分别为 \(a,b,c\)，模型的三角形数为 \(m\)。对每个采样点，我们需要：

遍历当前模型的所有三角形，求该采样点距离三角形的最短距离。

朴素做法时间复杂度为 \(O(abcm)\)。

并行优化

若事先对三角形建立 BVH，则每个采样点查找其 DF 值时不再需要遍历所有三角形，生成 mesh DF 的整体时间复杂度将优化到 \(O\left( abc\log m \right)\)。

引擎采用 Intel Embree 库在 CPU 上对三角形建立 BVH，并对所有采样点并行生成 DF，并行线程数为 \(abc\)。由于该任务需要频繁访存，因此 GPU 计算着色器表现不佳，计算均在 CPU 上并行处理。

1
2
3

std::for_each(
  std::execution::par_unseq, brick_tasks.begin(), brick_tasks.end(), [](Distance_Field_Brick_Task& task) { task.do_work(); }
);

符号信息的生成

由于生成的 DF 是无符号的，因此还需要判断采样点位于 mesh 内部还是外部，生成 SDF。由于许多三维模型不密封，因此设计一个绝对正确的内外部判断算法会存在一些困难。

不过，内外部判断的算法设计还是比较丰富的。这里将介绍两个常用算法：随机投射算法和最近三角面算法。其他的诸如 JFA 算法，通常更精确，但计算量更大，不再赘述。

随机投射算法，就是在采样点随机发射多个射线与 mesh 求交，根据法线方向判断交点位于 mesh 内部还是外部。若交点在 mesh 的内部多，则采样点位于 mesh 内部，否则位于外部。该算法较常用且准确，引擎默认使用该算法计算符号。

引擎还可以使用一个计算量很低，但效果还不错的最近三角面算法：

根据距采样点最近的三角形面片的法线方向：
- 若采样点位于该法线方向指向的半空间，则采样点在 mesh 外部
- 否则，在 mesh 内部。

如果 \mathbf{p} 选中了法线为 \mathbf{n}^2 的三角面，则会错误地被判定在 mesh 内部 — 如果 \(\mathbf{p}\) 选中了法线为 \(\mathbf{n}^2\) 的三角面，则会错误地被判定在 mesh 内部

尽管该算法可能会在一些几何体的高频凹凸区域给出错误的结果，但也基本不会造成可以察觉的问题，可作为备选。

SDF 的压缩算法

多级纹理

与所有纹理类似，SDF 也可以具有纹理层级 mipmap，以方便后续的优化。细粒度的纹理层级的分辨率较高，粗粒度的分辨率较低。

由于距离场数据的特殊性，插值可能产生错误的结果，因此不能简单地调用图形 API 的普通三维纹理的 mipmap 生成接口。实践时，需要手动以不同的采样密度多次生成纹理。

纹理基本单元与条带阈值压缩

为保持空间局部性，引擎将 \(k \times k \times k\) 个采样点作为管理的基本单元，称为一个采样块²。综合考虑内存对齐，当前取值为 \(k = 8\)。查询 SDF 时，我们首先确定查询位置位于哪个采样块，然后在块内插值结果。

由于我们通常只关心模型表面的 SDF 信息，为尽可能只存储有价值的数据，需要对过大的 SDF 值进行阈值压缩处理。具体地：

选定一个阈值 \(r\)，如果一个采样点的 DF 值 \(|d| > r\)，则该采样点的 \(d\) 将被 clamp 到 \(\pm r\)。
如果一个采样块中，所有采样点均满足 \(|d| > r\)，则该采样块将被丢弃。

\(r\) 可称为 条带半径参数，它是一个与

mesh 的 bounding box 的大小，
mesh 的 SDF 分辨率，
允许 SDF 距离场在 mesh 表面附近的有效覆盖范围（以采样点为单位）

均有关的阈值。具体而言，前两者增大时，\(r\) 减小；第三者（"半径"）增大时，\(r\) 增大。条带增大将导致存储的 SDF 从稀疏变得密集，导致存储压力增加。

条带阈值压缩与偏移访问

由于我们丢弃了包围盒中部分的采样块，我们需要一个哈希表来确定各个采样块在包围盒中的位置。

在显存中，我们仍将所有未被丢弃的采样块线性存储，但需要一个额外的"偏移值"，在实际访问块时，需要查询 索引 - 偏移值 访问到相应的块。

线性量化距离

由于我们存储的 SDF 最大距离由阈值约束，所以可以不直接存储浮点数，而将距离存储到 uint8_t 量化的数据内，节约内存的同时保持一定的精度。原始距离的绝对值的最大值为 \(r\)，以此决定量化数据的范围。

具体地，若计算得到的原始距离值为 \(d\)，uint8_t 量化后的结果为 \(s\)，那么

\[ d = \frac{s}{255} \cdot \text{scale} + \text{bias}, \]

其中 \(\text{scale} = 2r,\text{bias} = - r\)。这样一来：

当 \(d = - r\) 时，\(s = 0\)
当 \(d = r\) 时，\(s = 255\)

因此有效的 \(d\) 的取值范围为 \(\lbrack - r,r\rbrack\)。

SDF 的使用与查询

GPU 上的 SDF

我们在 CPU 上完成 SDF 的生成和压缩后，需要将数据拷贝到 GPU 上使用，以帮助应用程序完成 shader 上的 ray marching 和碰撞检测等任务。

1
2
3

// nonstd::unique_ptr<Texture> sdf_atlas;
builder->add_texture("sdf_brick_atlas"_s, sdf_atlas.get(), &sdf_atlas_sampler, true); // bind to Lighting_Injector
pass.set_uniform("sdf_brick_atlas", sdf_atlas.get()); // bind to pass

我们在 OpenGL 中用 sampler3D 存储 SDF，采样坐标空间为 \((0,1)^{3}\)，因此需要将纹理采样坐标归一化。

若场景有新模型需要生成 SDF，GPU 上的 SDF 纹理也将得到更新。

SDF 的实例化

如果加入了原先模型的一个实例，则我们不需要重新建立 SDF，可以复用原模型的 SDF 数据。不过，如果模型发生了平移、旋转或缩放变换，SDF 也需要相应地变换。因此，我们需要在 SDF 中存储模型的变换信息。

因此，引擎将记录 \((0,1)^{3}\) 归一化体积空间（volume space）到原始模型空间的变换：

volume_to_local = Affine{
    .position = center,
    .scaling = math::Vector3{bb_max_extent},
}

这将用于后续模型发生平移、旋转或均匀缩放变换时，对应 SDF 的变换。请注意：发生非均匀缩放变换时，尽管 SDF 仍可以使用，但其中数据将变得不准确。

SDF 纹理绑定在 imported mesh 上，以实现 SDF 的实例化：不同 mesh instance 将引用相同的 SDF 纹理，但可以具有不同的变换。

距离查询

输入：世界坐标 \(\mathbf{p}\)，要获取该处的 SDF 值，引擎将执行如下流程：

对每个模型 \(m_{i}\) 的 mesh SDF：
- 若 \(\mathbf{p}\) 在 \(m_{i}\) 的包围盒之内：
  - 获取 mesh SDF 世界空间到其 volume 空间的变换 \(\mathbf{M}_{i,\text{ world} \rightarrow \text{volume}}\)。该变换与模型 \(m_{i}\) 此时的变换有关，也与建立 SDF 时模型的变换有关。
  - 查询纹理 sample_mesh_sdf(\(i,\mathbf{M}_{i,\text{ world} \rightarrow \text{volume}}\mathbf{p}\), mip_level)，输出 SDF 的值。具体地：
    - 若 \(\mathbf{p}\) 在被存储的采样块之内，则获取 \(\mathbf{p}\) 所在的采样块，三线性插值附近的采样点获取 SDF 的值
    - 若 \(\mathbf{p}\) 不在被存储的采样块之内，则：取 \(d = \pm r\) 作为 SDF 的近似值，或者用水平集算法获取 SDF 的值
- 若 \(\mathbf{p}\) 不在 \(m_{i}\) 的包围盒之内：
  - 取 \(\mathbf{p}\) 与 \(m_{i}\) 的包围盒的距离，作为 SDF 的近似值，或者用水平集算法获取 SDF 的值

如果 \(\mathbf{p}\) 不在任何模型的内部，则可以获取每个 SDF 查询结果的最小值，作为该位置最终 SDF 值 \(\varphi(\mathbf{p})\)。

梯度查询

梯度查询的流程是类似的，这里介绍一下引擎对 sample_mesh_sdf_gradient(\(i,\mathbf{M}_{i,\text{ world} \rightarrow \text{volume}}\mathbf{p}\), mip_level) 的实现。

为了计算 \(\mathbf{p}\) 处的 SDF 梯度，简单的想法是中心差分法，即查询目标点所在位置六个方向上偏移 \(h\) 的 SDF 值，用离散差分近似梯度。首先是单方向差分：

\[ \frac{\partial\varphi(\mathbf{p})}{\partial x} \approx \frac{\varphi(\mathbf{p}{+ (h,0,0)}^{T}) - \varphi(\mathbf{p})}{h}, \]

\[ \frac{\partial\varphi(\mathbf{p})}{\partial x} \approx \frac{\varphi(\mathbf{p}) - \varphi(\mathbf{p}{- (h,0,0)}^{T})}{h} \]

复合得到轴向差分：

\[ \frac{\partial\varphi(\mathbf{p})}{\partial x} \approx \frac{\varphi(\mathbf{p}{+ (h,0,0)}^{T}) - \varphi(\mathbf{p}{- (h,0,0)}^{T})}{2h} \]

于是

\[ \begin{aligned} \nabla\varphi(\mathbf{p}) & = \left( \frac{\partial\varphi(\mathbf{p})}{\partial x},\frac{\partial\varphi(\mathbf{p})}{\partial y},\frac{\partial\varphi(\mathbf{p})}{\partial z} \right)^{T} \\ & = \text{ normalize}\left( \varphi(\mathbf{p} + h\mathrm{\mathbf{i}}) - \varphi(\mathbf{p} - h\mathrm{\mathbf{i}}),\varphi(\mathbf{p} + h\mathrm{\mathbf{j}}) - \varphi(\mathbf{p} - h\mathrm{\mathbf{j}}),\varphi(\mathbf{p} + h\mathrm{\mathbf{k}}) - \varphi(\mathbf{p} - h\mathrm{\mathbf{k}}) \right) \end{aligned} \]

该方法需要查询 6 次 SDF。

引擎使用一种基于四面体方向改进的方法³，在假设 \(\varphi(\mathbf{p}) \approx 0\) 时，只需查询 4 次 SDF：

\[ \nabla\varphi(\mathbf{p}) = \text{ normalize}\left( \sum_{i = 1}^{4}\varphi(\mathbf{p} + h\mathbf{k}_{i})\mathbf{k}_{i} \right) \]

其中 \(\mathbf{k}_{0} = (1, - 1, - 1)^{T},\mathbf{k}_{1} = ( - 1, - 1,1)^{T},\mathbf{k}_{2} = ( - 1,1, - 1)^{T},\mathbf{k}_{3} = (1,1,1)^{T}\)。由于 SDF 碰撞检测算法通常只在模型边缘发挥作用，且我们建立的 SDF 条带半径由 \(r\) 决定，\(r\) 通常是一个小值，因此 \(\varphi(\mathbf{p}) \approx 0\) 一般成立，故可以使用该算法。

SDF 的可视化

我们效仿 UE4，利用 ray marching (sphere tracing) 进行可视化：从摄像机出发向场景发射光线，做 sphere tracing：从起点开始，不断采样射线上的 SDF 值 \(d\)，并用 \(\max(|d|,\varepsilon)\) 步进光线，其中 \(\varepsilon\) 是一个较小的正值。

最终，我们根据 sphere trace 的次数累积该像素的亮度。可见，trace 次数越多，该像素就越亮，因此可以在模型边缘观察到高亮度，而在距离边缘有一定距离的模型内部和外部观察到低亮度。在 Bounding box 之外，由于无法查询 SDF 的值，因此不会有任何亮度。

SDF 的应用

Ray Marching 的加速

SDF 与实时渲染紧密结合，就在于它是一个非常适合用于加速 ray marching 的数据结构，可用于实现大量全局光照算法，因此成为了 UE5 Lumen 最重要的基础设施之一。

UE 的 SDF 系统更加复杂，包含 mesh SDF 和 global SDF，后者由粗粒度的 mesh SDF 合并而来，用于大场景查询优化

SDF 阴影

SDF 阴影是一个与 shadow mapping 不同的阴影技术，实际技术原理是基于 ray marching 的 occlusion 计算。但由于 SDF 能够加速 ray marching 过程，因此工业界往往误导性地将其称为"SDF 阴影"。

尽管并不十分物理，但这是一个能够产生软阴影的技术，且支持艺术家调整阴影的"柔软程度"，同时性能消耗小于光线追踪阴影，因此在实时渲染领域具有一定的应用价值。

如图所示，理想点光源只能产生硬阴影。然而对自然界中占绝大多数的体积光源而言，阴影部位可分为无阴影、半影和全影部分。

为了确定当前片元是否能被自然光源照亮，照亮的程度有多高，可以想到一个直接的方法：作一条片元到光源的连线，看看这条连线是否与遮挡几何体接近：如果很接近，说明该片元的阴影较重，否则阴影较轻。

我们假设目标光源是球形光源。具体地，在 shading pass，我们希望对一个像素计算其是否被某个光源遮蔽，得到遮蔽值 \(V \in \lbrack 0,1\rbrack\) 与最终像素颜色相乘。

我们从该像素出发做 sphere tracing：向光源发射光线，从起点开始，不断采样射线上的 SDF 值 \(d\)，并根据 \(\max(|d|,\varepsilon)\) 步进光线。可见，在与几何体较近的位置，SDF 的值较小，sphere 的半径较小。

直到射线超过光源位置或抵达一个很远的地方，我们可以结束 ray marching。最终，我们统计得到一个最小 SDF 值 \(d\) 和该半径 \(d\) 对应的射线参数 \(t \in \left\lbrack t_{\min},t_{\max} \right\rbrack\)：若 \(d < 0\)，则该像素完全被遮蔽，\(V = 0\)，否则

\[ V = \max(\frac{d}{t \cdot \tan\alpha},1) \]

其中 \(\alpha\) 为球形光源投射张角的一半，为像素-光源中心连线到像素-光源边缘连线的张角。这里这个参数可供艺术家修改以调整半影面积的大小。

上述 \(V\) 的公式过于简单，也不够物理，在一些尖锐几何表面容易出现 artifact。有许多关于 \(V\) 的计算的改进，比如

GDC 2018: GPU based clay simulation and ray tracing tech in Claybook
UE4/5 SDF 阴影的实现

引擎内部已经参考 UE 进行了改进，限于篇幅，这里不再赘述。

DFAO

距离场环境光遮蔽（Distance Field Ambient Occlusion, DFAO）也是一个基于 ray marching 的 occlusion 计算技术。UE 的 DFAO 使用多个圆锥来采样遮蔽值，最终对各个圆锥的采样结果做加权平均即可获得片段的遮蔽值。

大体思路如下：

在像素所在的表面正半球方向，随机采样 \(n\) 个圆锥，每个圆锥的张角为 \(2\alpha\)
对每个圆锥：对第 \(i\) 个圆锥进行 sphere tracing，统计最小 SDF 值 \(d_{i}\) 和 \(d_{i}\) 对应的射线参数 \(t_{i} \in \left\lbrack t_{i,\min},t_{i,\max} \right\rbrack\)
计算遮蔽值 \[ V_{i} = \text{ saturate}\left( \frac{d_{i}}{t_{i} \cdot \tan\alpha} \right). \]
加权平均 \(V = \sum_{i = 1}^{n}k_{i}V_{i}\)，获得最终遮蔽值

UE 对 DFAO 还进行了被称为 sphere AO 的改进，即在每个模型本体的基础上再建立一个球体计算其 AO，将该 AO 与模型 SDF 计算的 DFAO 加权平均混合起来，达到更好的 AO 视觉效果。

SDF 碰撞检测与处理

质点碰撞检测的一般方法：检测其位置 \(\mathbf{x}\) 是否满足 \(\varphi(\mathbf{x}) \geq 0\)，若否，则意味着该质点位于物体内部，需进行碰撞处理。
质点碰撞处理的一般方法：将其沿 \(\nabla\varphi(\mathbf{x})\) 的方向，移动到物体外，并按需计算库仑摩擦；或者将其沿 \(\nabla\varphi(\mathbf{x})\) 的方向施加惩罚力。

一般地，刚体-刚体碰撞检测和软体-刚体碰撞检测可直接应用 SDF，适用于离散碰撞检测。只有解析的，时间连续的 SDF 可以较方便地应用于连续碰撞检测。

其他应用

SDF 还在许多领域得到了广泛应用，如：

描边与抗锯齿。事先为图像中的边缘烘焙 DF 后，可在渲染时线性插值边缘附近的像素，获取柔和而不失真的效果。可用于 (S)DF 字体和二维图形渲染，以及卡通渲染描边。
SDF 图形插值⁴。将两张灰度图形明确边界后，可建立 SDF "等高线"后获得两者之间的过渡图形。可用于卡通渲染角色阴影贴图。
程序化建模。使用解析的 SDF 进行程序化建模和布尔运算，在运行时生成简单或复杂的几何体。
Gameplay效果。例如，在潜入类游戏中，角色贴近掩体时，计算角色模型各点上 SDF 的值，值小则给予该部分模型较高的透明度，实现"隐身"效果。
AI 优化。例如，将 SDF 作为损失函数的一部分，引导机器人 AI 运动轨迹规划算法生成安全路径。

限于篇幅，本讲不再赘述。