兰彻斯特作战模型
考虑两军交战：
- \(x(t)\)，\(y(t)\)分别表示\(t\)时刻，甲方和乙方的兵力；
- \(a\)，\(b\)分别表示乙、甲两方的单兵（作战单位）平均毁伤率。
第一线性律
第一线性律认为，战斗是一对一的，即在双方战线上战斗的士兵数目基本相同，且基本不变。进一步可认为始终双方仅派出一个作战单位对战。在此假设下，毁伤率仅与单兵毁伤率有关，对甲军兵力分析，有
\[ x(t) - x(t + \Delta t) = a \Delta t, \]
令\(\Delta t \to 0\)对称分析，可推导出系统微分方程组：
\[ \begin{cases} \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt} = -a, \\ \frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm dt} = -b, \\ \end{cases} \]
初值条件\(x(0) = x_0, y(0) = y_0\)为双方已知的起始兵力。
该微分方程组是平凡的，\(x(t)\)和\(y(t)\)均为直线。
第二线性律
第二线性律用于仅进行炮火覆盖，而无直接短兵相接的情况。假设平均毁伤率
- 与敌军当前剩余兵力成正比，因为剩余敌军越少，炮火覆盖的杀伤效果越差，
- 与我军当前兵力成正比，因为我军兵力越多，炮火越密集。
那么，对甲军兵力分析，有
\[ x(t) - x(t + \Delta t) = a x(t) y(t) \Delta t, \]
故
\[ \begin{cases} \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt} = -a x(t) y(t), \\ \frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm dt} = -b x(t) y(t). \end{cases} \]
进一步地，有
\[ \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm d y(t)} = \frac{a}{b}, \]
即\(x(t), y(t)\)间成线性关系。
下面推导解析表达。由线性关系可知
\[ x(t) = \frac{a}{b}y(t) + C, \]
令\(t = 0\)，代入初值条件得\(C = x_0 - \frac{a}{b}y_0\)。故
\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm dt} &= -b x(t) y(t) \\ &= -b \left (\frac{a}{b} y(t) + x_0 - \frac{a}{b}y_0\right) y(t) \\ &= -a y^2(t) - (bx_0 -ay_0 ) y(t). \end{aligned} \]
解这个微分方程，可以令\(z = \frac{1}{y}\)，化为一阶线性微分方程求解。解得
\[ \begin{cases} y(t) = \frac{y_0 (k-1)}{k \mathrm e^{ay_0 (k-1)t} - 1}, \\ x(t) = \frac{x_0 (1-k)}{ \mathrm e^{ay_0 (1-k)t} - k}. \end{cases} \]
其中\(k = \frac{bx_0}{ay_0}\)。当\(k = 1\)时，上式为\(\frac{0}{0}\)形式，可用洛必达法则得出
\[ \begin{cases} y(t) = \frac{y_0}{ay_0 t + 1}, \\ x(t) = \frac{x_0}{ay_0 t + 1}. \end{cases} \]
求解出的函数\(x(t), y(t)\)均呈衰减曲线，不存在零点，与炮火覆盖的假设相符。
平方律
平方律用于一般的直瞄射击情况。设双方的每件武器对敌方进行直瞄射击，一旦毁伤目标，则立即转移火力，向下一目标射击。双方的射击流都是泊松流。故平均毁伤率
- 与我军当前兵力成正比，而与敌军当前兵力无关
那么
\[ x(t) - x(t + \Delta t) = ay(t) \Delta t, \]
故
\[ \begin{cases} \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt} = -a y(t), \\ \frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm dt} = -b x(t). \end{cases} \]
有
\[ \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm d y(t)} = \frac{ay(t)}{bx(t)}, \]
分离变量，两边积分得到
\[ bx^2(t) - ay^2(t) = C, \]
令\(t=0\)得\(C = bx_0^2 - ay_0^2\)。故
\[ bx^2(t) - ay^2(t) = bx_0^2 - ay_0^2. \]
一般地，这是一个对称中心为原点的双曲线的第一象限的部分。
下面推导解析表达。由
\[ \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt} = -a y(t), \]
两边对\(t\)求导得
\[ \frac{\mathrm d^2 x(t)}{\mathrm dt^2} = -a\frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm dt} = abx(t). \]
上述微分方程的特征方程为\(x^2 -ab = 0\)，两根\(x = \pm \sqrt{ab}\)，通解为\(x(t) = C_1\mathrm e^{\sqrt{ab}t} + C_2\mathrm e^{-\sqrt{ab}t}\)。
- 令\(t = 0\)得\(C_1 + C_2 = x_0\)，
- 对\(t\)求导后，有\(\frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt} = \sqrt{ab}(C_1 \mathrm e^{\sqrt{ab}t} - C_2 \mathrm e^{-\sqrt{ab}t}) = -ay(t)\)，令\(t=0\)得\(\sqrt{ab}(C_1-C_2) = -ay_0\)，
解得\(C_1,C_2\)，代回\(x(t)\)得
\[ x(t) = \frac{1}{2}\left( \left(x_0 - \sqrt{\frac{a}{b}}y_0\right) \mathrm e^{\sqrt{ab}t} + \left(x_0 + \sqrt{\frac{a}{b}}y_0\right) \mathrm e^{-\sqrt{ab}t} \right). \]
利用双曲函数表达，有
\[ x(t) = x_0\cosh(\sqrt{ab} t) - \sqrt{\frac{a}{b}} y_0\sinh(\sqrt{ab} t), \]
由对称性得
\[ y(t) = y_0\cosh(\sqrt{ab} t) - \sqrt{\frac{b}{a}} x_0\sinh(\sqrt{ab} t). \]
当\(x(t)\)存在零点\(T\)时，\(y'(t)\)满足\(y'(T) = 0\)，此零点即为战斗结束，甲方全军覆没，乙方获胜之时。令\(x(t) = 0, k = \mathrm e^{\sqrt{ab} t}\)，得
\[ \begin{cases} k = \sqrt\frac{\sqrt {ab} x_0y_0}{\sqrt{a} y_0 - \sqrt b x_0}, \\ T = \frac{1}{2\sqrt{ab}} \ln\left( \frac{\sqrt {ab} x_0y_0}{\sqrt{a} y_0 - \sqrt b x_0}\right). \end{cases} \]
最后，乙方剩余兵力可代入式\(bx^2(t) - ay^2(t) = bx_0^2 - ay_0^2\)计算，为
\[ y(T) = \sqrt{ y_0^2 - \frac{b}{a}x_0^2 }. \]
定量分析可得出如下结论：
- 若\(ay_0^2 > bx_0^2\)，则对任意\(t\)，有\(ay^2(t) > bx^2(t)\)，最终\(x(t)\)在经过时间\(T\)后变成\(0\)，甲方被歼灭，乙方获胜。
- 反之，若\(ay_0^2 < bx_0^2\)，则甲方获胜。
- 若\(bx_0^2 = ay_0^2\)，则双方同归于尽。
平方律下的战争代价
在乙方获胜的前提下，设乙方每投入一个战斗单位的代价为\(c_1\)，每阵亡一个战斗单位的代价为\(c_2\)，则乙方在战斗结束后，付出的总代价为
\[ f(y_0) = c_1 y_0 + c_2\sqrt{ y_0^2 - \frac{b}{a}x_0^2 } \]
求\(\min f\)，可以得到使得代价最小化的战争投入
\[ y_0^* = \frac{\sqrt{b} (1 + \frac{c_2}{c_1})x_0}{\sqrt a \sqrt{1 + 2\frac{c_2}{c_1}}}. \]
愈战愈勇
在某些游戏中，甲方可能携带“愈战愈勇”加成，使得该方的输出能力随着生命值的减少而上升，即在濒死时可具有最强的输出能力，量化表现为
\[ y(t) - y(t + \Delta t) = b(k - x(t)) \Delta t, \]
其中\(k\)为濒死状态下的输出能力系数。例如，当\(k=2x_0\)时，濒死时的输出能力恰好为满血时的输出能力的两倍。
如果其面对的对手的输出能力与“平方律”相同，即满足
\[ \begin{cases} \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt} = -a y(t), \\ \frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm dt} = -b(k - x(t)), \end{cases} \]
那么，同理可推导得到，对任意\(t\)，有
\[ bx^2(t) + ay^2(t) - 2bkx(t) = bx_0^2 + ay_0^2 - 2bkx_0. \]
一般地，这是一个对称中心在\(x\)轴的正半轴上的椭圆的第一象限的一部分。若需要求解战斗结束的点，令\(y(T) = 0\)或\(x(T) = 0\)，查看解的情况是否合理即可。
例题
勇者初始生命值为\(200\)，每秒可造成伤害\(2\)点；BOSS初始生命值为\(400\)，每秒可造成伤害\(2\)点。且勇者具有“愈战愈勇”加成：生命每减少1%，输出能力就增加1%；而BOSS生命每减少1%，输出能力就下降1%。现两者对战，求勇者获胜时的生命值。
代入数据\(a=1/20\)，\(y_0 = 400\)，\(b=1/100\)，\(x_0 = 200\)，\(k = 2x_0\)，令\(y(T) = 0\)，得到
\[ x(T) = 100 (4 \pm 2 \sqrt 3), \]
舍去不合理的解，得到\(x(T) = 100(4 - 2 \sqrt 3) \approx 53.59\)，即勇者获胜时的生命值。