格林公式与高斯公式

https://ximera.osu.edu/mooculus/calculus3/greensTheorem/digInDivergenceAndGreensTheorem

记向量函数\(\mathbf F\)。

高斯公式

\[ \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right) \, \mathrm d V= \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\, \mathrm dS.} \]

格林公式

\[ \iint _{S}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right) \, \mathrm d S= \oint_{\partial S} {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\, \mathrm d l.} \]

退化到一维

\[ \int_a^b f'(x) \, \mathrm d x = f(b) - f(a). \]

拉普拉斯算子形式

由于\(\mathbf \Delta u = \mathbf \nabla^2 u = \mathbf \nabla \cdot \mathbf \nabla u\)，故以上均可写成拉普拉斯算子形式。以格林公式为例：

\[ \iint _{S}\left(\mathbf \Delta \mathbf {F} \right) \, \mathrm d S= \oint_{\partial S} {\displaystyle (\mathbf \nabla \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\, \mathrm d l.} \]

这里的\(\mathbf F\)实际上是原式取了梯度算子的\(\mathbf \nabla \mathbf F\)。